Ahhh quelle belle petite histoire qui termine bien (en Linux!)
On va essayer de te dépatouiller, ça donne envie!
(quel Labo? Unif? UCL? privé?)

Ce que tu nommes "JRE Maison" sont sans doute des open-java-like?

Mais les JRE officiels de Sun-Oracle sont dispos sous la plupart des distros (ou directement depuis leur site, comme le suggère RFR)
En général, dans les distros, il suffit d'accepter de travailler avec les paquets non-free. Sous Ubuntu/Debian, cela se joue dans le /etc/apt/sources.list, il suffit de libérer les repositories "non-free" (il doit y avoir moyen de faire cela à la souris (huhuh, pardon), je laisse le soin aux habitués du GUI-synaptic t'expliquer...)
Si tout cela est du chinois, n'hésite pas à crier.

Enfin, la dernière Ubuntu me parait un bon choix, elle boote vite, mais un peu gourmande en ressources (tu as déjà un CPU correct, mais au niveau de la RAM?)